線形代数は数学の分野の一つで、主にベクトル、ベクトル空間（または線形空間）、線形変換、行列などを扱います。機械学習やデータサイエンス、工学、物理学など、多くの科学技術分野で基礎となる重要な役割を果たします。以下、線形代数の基本的な概念を簡潔に説明します。
1. ベクトルとベクトル空間
- ベクトル： ベクトルは大きさ（長さ）と方向を持つ量です。数学や物理学で広く使われ、座標の形で表されることが多いです。例えば、二次元ベクトル v=(x,y)\mathbf{v} = (x, y)v=(x,y) は、x軸とy軸の成分を持ちます。
- ベクトル空間： ベクトル空間（または線形空間）は、ベクトルの集合で、ベクトルの加算とスカラー倍が閉じている（操作後も同じ空間内に存在する）空間です。例えば、全ての二次元ベクトルは二次元のベクトル空間を形成します。
2. 行列と行列演算
- 行列： 行列は数や記号、数式の長方形の配列で、ベクトルの変換、システムの方程式の表現などに使われます。行列は行と列で構成されています。
- 行列演算： 行列の基本的な演算には加算、スカラー乗算、乗算が含まれます。特に行列の乗算はベクトルや他の行列に線形変換を適用するために用いられます。
3. 線形変換
線形変換はベクトルを別のベクトルにマッピングする関数で、この変換は行列を用いて表現されます。線形変換は、原点を保持し、加法とスカラー乗法を保持する変換です。
4. 行列の特性
- 行列式： 行列式は行列が逆行列を持つかどうかを判定するのに使われ、行列が表す線形変換による空間の伸縮の度合いを示します。
- 固有値と固有ベクトル： 固有値問題は、行列がベクトルをスカラー倍するときのスカラー（固有値）と、そのスカラー倍されるベクトル（固有ベクトル）を見つける問題です。これは振動系や量子力学、統計解析などで非常に重要です。
5. 応用
線形代数は、コンピュータグラフィックスでの画像処理、機械学習でのデータ変換、ロボティクスでの運動学計算、金融工学でのリスク評価など、多岐にわたる分野で応用されています。
これらの概念は、複雑な現象や計算を理解するための基礎を提供し、具体的な問題解決に役立てられます。